Zrozumienie równań Maxwella

Równania Maxwella stanowią podstawę teorii elektromagnetycznej, która stanowi zestaw czterech równań dotyczących pól elektrycznych i magnetycznych. Zamiast wymieniać matematyczną reprezentację równań Maxwella, w tym artykule skupimy się na faktycznym znaczeniu tych równań. Pierwsze i drugie równanie Maxwella dotyczy odpowiednio statycznych pól elektrycznych i statycznych pól magnetycznych. Trzecie i czwarte równanie Maxwella dotyczy odpowiednio zmieniających się pól magnetycznych i zmieniających się pól elektrycznych.

Równania Maxwella to:

1. Prawo energii elektrycznej Gaussa
2. Prawo magnetyzmu Gaussa
3. Prawo indukcji Faradaya
4. Prawo Ampera

1. Prawo energii elektrycznej Gaussa

Prawo to mówi, że strumień elektryczny z zamkniętej powierzchni jest proporcjonalny do całkowitego ładunku zawartego w tej powierzchni. Prawo Gaussa dotyczy statycznego pola elektrycznego.

Rozważmy dodatni ładunek punktowy P. Wiemy, że linie strumienia elektrycznego są skierowane na zewnątrz od dodatniego ładunku.

Rozważmy zamkniętą powierzchnię z _zamkniętym w niej ładunkiem Q. Wektor obszaru jest zawsze wybierany jako Normalny, ponieważ reprezentuje orientację powierzchni. Niech kąt utworzony przez wektor pola elektrycznego z wektorem pola wynosi θ.

Strumień elektryczny ψ jest

Powodem wyboru iloczynu skalarnego jest to, że musimy obliczyć, ile strumienia elektrycznego przechodzi przez powierzchnię reprezentowaną przez wektor normalnego obszaru.

Z prawa kulomba wiemy, że pole elektryczne (E) spowodowane ładunkiem punktowym wynosi Q / 4πε ₀ r ².

Biorąc pod uwagę symetrię sferyczną, całkowa postać prawa Gaussa to:

Dlatego strumień elektryczny Ψ = Q _zamknięty / ε ₀

Tutaj Q _zamknięty reprezentuje sumę wektor wszystkich opłat wewnątrz powierzchni. Obszar obejmujący ładunek może mieć dowolny kształt, ale aby zastosować prawo Gaussa, musimy wybrać powierzchnię Gaussa, która jest symetryczna i ma równomierny rozkład ładunku. Powierzchnia Gaussa może być cylindryczna, kulista lub płaska.

Aby wyprowadzić jego postać różniczkową, musimy zastosować twierdzenie o dywergencji.

Powyższe równanie jest różnica postać prawa Gaussa lub Maxwell równania I.

W powyższym równaniu ρ reprezentuje gęstość ładunku objętościowego. Kiedy musimy zastosować prawo Gaussa do powierzchni z ładunkiem liniowym lub rozkładem ładunku powierzchniowego, wygodniej jest przedstawić równanie z gęstością ładunku.

Dlatego możemy wywnioskować, że dywergencja pola elektrycznego na zamkniętej powierzchni daje ilość ładunku (ρ) zawartego w nim. Stosując dywergencję do pola wektorowego, możemy wiedzieć, czy powierzchnia otoczona polem wektorowym działa jako źródło czy też ujście.

Rozważmy prostopadłościan z ładunkiem dodatnim, jak pokazano powyżej. Kiedy zastosujemy dywergencję do pola elektrycznego wychodzącego z pudełka (prostopadłościanu), wynik wyrażenia matematycznego mówi nam, że rozważany prostokąt (prostopadłościan) działa jako źródło obliczanego pola elektrycznego. Jeśli wynik jest ujemny, mówi nam, że pudełko działa jak zlew, tj. Pudełko zawiera w sobie ładunek ujemny. Jeśli rozbieżność wynosi zero, oznacza to, że nie ma w niej ładunku.

Z tego moglibyśmy wywnioskować, że istnieją monopole elektryczne.

2. Prawo magnetyzmu Gaussa

Wiemy, że linia strumienia magnetycznego płynie od bieguna północnego do bieguna południowego na zewnątrz.

Ponieważ istnieją linie strumienia magnetycznego spowodowane magnesem trwałym, będzie związana z nim gęstość strumienia magnetycznego (B). Kiedy zastosujemy twierdzenie o dywergencji do powierzchni S1, S2, S3 lub S4, zobaczymy, że liczba linii strumienia wchodzących i wychodzących z wybranej powierzchni pozostaje taka sama. Dlatego wynik twierdzenia o dywergencji wynosi zero. Nawet na powierzchni S2 i S4 dywergencja jest równa zeru, co oznacza, że ani biegun północny, ani południowy nie są indywidualnie źródłem ani pochłaniaczem, tak jak ładunki elektryczne. Nawet jeśli zastosujemy dywergencję pola magnetycznego (B) spowodowaną przewodem przewodzącym prąd, okazuje się, że wynosi ona zero.

Integralną formą prawa magnetyzmu Gaussa jest:

Różniczkowa forma prawa magnetyzmu Gaussa to:

Z tego moglibyśmy wywnioskować, że monopole magnetyczne nie istnieją.

3. Prawo indukcji Faradaya

Prawo Faradaya mówi, że gdy następuje zmiana strumienia magnetycznego (zmieniającego się w czasie) łączącego cewkę lub jakikolwiek przewodnik, w cewce indukowana będzie siła elektromagnetyczna. Lenz stwierdził, że indukowane pole elektromagnetyczne będzie skierowane w taki sposób, że przeciwdziała zmianom strumienia magnetycznego, który je wytwarza.

Na powyższej ilustracji, gdy płytka przewodząca lub przewodnik jest poddawany działaniu zmieniającego się pola magnetycznego, indukowany jest w nim prąd krążący. Prąd jest indukowany w takim kierunku, że wytwarzane przez niego pole magnetyczne przeciwstawia się zmieniającemu się magnesowi, który go wytworzył. Z tej ilustracji jasno wynika, że ​​zmieniające się lub zmieniające się pole magnetyczne tworzy krążące pole elektryczne.

Z prawa Faradaya, emf = - dϕ / dt

Wiemy to, ϕ = _{powierzchnia zamknięta} ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS

Pole elektryczne E = V / d

V = ʃ E.dl

Ponieważ pole elektryczne zmienia się względem powierzchni (zwijanie), istnieje różnica potencjałów V.

Dlatego integralną postacią czwartego równania Maxwella jest:

Stosując twierdzenie Stoke'a,

Powodem zastosowania twierdzenia Stoke'a jest to, że kiedy zakręcamy wirujące pole na zamkniętej powierzchni, wewnętrzne zwijające się składowe wektora znoszą się nawzajem, co skutkuje oceną pola wektorowego wzdłuż zamkniętej ścieżki.

Dlatego możemy napisać,

Różniczkowa postać równania Maxwella to

Z powyższego wyrażenia jasno wynika, że ​​zmieniające się w czasie pole magnetyczne wytwarza krążące pole elektryczne.

Uwaga: W elektrostatyce zwijanie się pola elektrycznego wynosi zero, ponieważ wyłania się ono promieniowo na zewnątrz z ładunku i nie ma związanego z nim elementu wirującego.

4. Prawo Ampera

Prawo Ampera mówi, że kiedy prąd elektryczny przepływa przez drut, wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Matematycznie, całka liniowa pola magnetycznego wokół zamkniętej pętli daje całkowity prąd w niej zawarty.

ʃ B .dl = μ ₀ I w załączeniu

Ponieważ pole magnetyczne zwija się wokół drutu, możemy zastosować twierdzenie Stoke'a do prawa Ampera.

Dlatego równanie staje się

Możemy przedstawić prąd zamknięty w postaci gęstości prądu J.

B = μ ₀ H wykorzystując tę ​​relację, możemy zapisać wyrażenie jako

Kiedy zastosujemy dywergencję do skrętu wirującego pola wektorowego, wynikiem jest zero. Dzieje się tak, ponieważ zamknięta powierzchnia nie działa jako źródło ani zlew, tj. Liczba strumienia wchodzącego i wychodzącego z powierzchni jest taka sama. Można to matematycznie przedstawić jako:

Rozważmy obwód, jak pokazano poniżej.

Obwód ma podłączony kondensator. Kiedy zastosujemy dywergencję w regionie S1, wynik pokaże, że jest ona niezerowa. W notacji matematycznej

W obwodzie płynie prąd, ale w kondensatorze ładunki są przenoszone z powodu zmiany pola elektrycznego na płytach. Więc fizycznie prąd przez nią nie przepływa. Maxwell ukuł ten zmieniający się strumień elektryczny jako prąd przesunięcia (J _D). Ale Maxwell ukuł pojęcie prądu przesunięcia (J _D), biorąc pod uwagę symetrię prawa Faradaya, tj. Jeśli zmieniające się w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne, to dzięki symetrii zmieniające się pole elektryczne wytwarza pole magnetyczne.

Skręt natężenia pola magnetycznego (H) w obszarze S1 wynosi

Całkową postać czwartego równania Maxwella można wyrazić jako:

Postać różniczkowa czwartego równania Maxwella to:

Wszystkie te cztery równania, w postaci całkowej lub różniczkowej, razem wzięte, nazywane są równaniem Maxwella.